Metody dyskontowe

Metody dyskontowe – narzędzie służące do oceny projektów inwestycyjnych. Pozwalają one na podjęcie prawidłowych decyzji, ponieważ uwzględniają zmianę wartości pieniądza w czasie. Jest to szczególnie ważne w przypadku projektów wieloletnich.
Dyskontowanie – wyznaczanie wartości obecnej przyszłych kwot kapitału.1 Jest odwrotnością oprocentowania, które pozwala na ustalenie przyszłej wartości dzisiejszych kwot pieniędzy. Wartość przyszła w operacjach oprocentowania i wartość obecna w operacjach dyskontowania uzależniona jest od przyjętej do obliczeń stopy dyskontowej. Wartość obecną według wzoru:

fp (48)

gdzie:
PV – wartość obecna
FV – wartość przyszła
k – stopa dyskontowa
t- czas

Przykład
Ustal obecną wartość spadku w wysokości 20000 $, który otrzymasz za dwa lata, jeżeli roczna stopa dyskontowa wynosi 5%.

fp (49)

Dzisiejsza wartość 20 000 $, które otrzymasz za dwa lata wynosi 18 140,59$.

Do podstawowych dynamicznych metod oceny projektów inwestycyjnych zalicza się: wartość zaktualizowaną netto oraz wewnętrzną stopę zwrotu. Często wyznacza się również zdyskontowany okres zwrotu.
Wartość zaktualizowana netto (NPV) – podstawowa miara służąca do oceny projektów inwestycyjnych. Na jej podstawie powinna być podejmowana ostateczna decyzja o realizacji lub odrzuceniu danego projektu inwestycyjnego. Wartość zaktualizowaną netto oblicza się jako różnicę między zdyskontowanymi wpływami środków pieniężnych i zdyskontowanymi wydatkami związanymi z planowanym przedsięwzięciem inwestycyjnym.

Wzór jest następujący:2

fp (50)

Analizowany projekt inwestycyjny jest opłacalny i powinien być realizowany, jeżeli NPV ma wartość dodatnią. Ujemna wartość NPV oznacza, że poniesione wydatki są większe od osiągniętych wpływów. W taki przypadku projekt jest nieopłacalny. Decyzje inwestycyjne podejmowane w oparciu o wartość NPV zapisać można w następujący sposób:3
NPV > 0 – projekt inwestycyjny jest opłacalny i może być realizowany
NPV < 0 – projekt inwestycyjny jest nieopłacalny i powinien być odrzucony

Wartość NPV zależy od przyjętej do obliczeń stopy dyskontowej. Dla niskich stóp dyskontowych wartość zaktualizowana netto jest wyższa, w odwrotnej sytuacji negatywnie to wpływa na wielkość NPV.
Wartość zaktualizowana netto ulega obniżeniu. Zależność między NPV a stopą dyskontową przedstawić można na poniższym wykresie.

fp (51)

Źródło: Dynus M., Kołosowska B., Prewysz-Kwinto P., Zarządzanie finansami przedsiębiorstwa, TNOiK,
Toruń 2006, s. 143.

Przykład
Na podstawie danych z tabeli przepływów i oblicz wielkość NPV, wiedząc że stopa dyskontowa wynosi 18%.

fp (52)

Rozwiązanie:

1. Obliczamy zdyskontowane wartości przepływów pieniężnych netto

fp (53)

Wartość w kolumnie 0 otrzymano dzieląc kwotę -24000 przez czynnik dyskontujący postaci (1+18%)1, w kolumnie 1 natomiast kwotę -21000 podzielono przez (1+18%)1, zaś w kolumnie 2 kwotę 25000 podzielono przez (1+18%)2 itd.

2. Obliczamy NPV sumując zdyskontowane wartości przepływów pieniężnych netto

NPV = -24000 – 17796,61 + 17954,61 + 18258,93 + 12378,93 = 6795,86

Odp. NPV dla analizowanego projektu wynosi 6795,86. Projekt ten powinien być realizowany, ponieważ NPV jest dodatnie.

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) – stopa dyskontowa, dla której zdyskontowane wpływy równają się zdyskontowanym nakładom, czyli IRR to taka stopa dyskontowa, przy której wartość NPV jest równa zero.4 Zależność tę zapisać można w następujący sposób:

IRR = k ? NPV = 0

IRR określa graniczną stopę dyskontową, dla której dane przedsięwzięcie inwestycyjne jest opłacalne. Dla każdej stopy dyskontowej poniżej wartości IRR, wartość zaktualizowana netto będzie dodatnia, a więc projekt inwestycyjny powinien być realizowany, natomiast dla każdej stopy dyskontowej powyżej IRR, NPV będzie ujemne, a analizowany projekt należy odrzucić. Zasady podejmowania decyzji inwestycyjnych w oparciu o wewnętrzną stopę zwrotu można w skrócie zapisać:5

k < IRR => NPV > 0 – projekt jest opłacalny
k > IRR => NPV < 0 – projekt jest nieopłacalny

Obliczenie wewnętrznej stopy zwrotu polega na znalezieniu takiej stopy dyskontowej, dla której NPV jest równe zero. Wyznacza się z następującego wzoru:

fp (54)

Wewnętrzną stopę zwrotu można też obliczyć, korzystając z uproszczonej metody interpolacji liniowej za pomocą następującego wzoru:

fp (55)

gdzie:
k+ – stopa dyskontowa, dla której NPV jest dodatnie i bliskie zero
k- – stopa dyskontowa, dla której NPV jest ujemne i bliskie zero
NPV+ – poziom NPV dla k+
NPV- – poziom NPV dla k-

Stosując metodę interpolacji różnica między stopą dyskontową dla NPV dodatniego, a stopą dyskontową dla NPV ujemnego powinna wynosić jeden punkt procentowy. Przy zwiększaniu tej różnicy otrzymany wynik IRR obarczony będzie coraz większym błędem.

Przykład
Na podstawie danych z tabeli przepływów i wiedząc, że stopa dyskontowa wynosi 18%, oblicz wartość wewnętrznej stopy zwrotu.

fp (56)

1. Poszukujemy stopy dyskontowej, dla której NPV będzie dodatnie, ale bliskie zeru

fp (57)

dla k = 22%, NPV = -24000 – 17213,11 + 16796,56 + 16521,21 + 10833,58 = 2938,23
dla k = 24%, NPV = -24000 – 16935,48 + 16259,11 + 15734,62 + 10151,37 = 1209,61
dla k = 25%, NPV = -24000 – 16800,00 + 16000,00 + 15360,00 + 9830,40 = 390,40
dla k = 26%, NPV = -24000 – 16666,67 + 15747,04 + 14997,18 + 9522,02 = -400,43

a zatem:
k+ – 25%NPV+ – 390,40
k- – 26% NPV- – -400,43

2. Obliczamy IRR

fp (58)

Odp. Wewnętrzna stopa zwrotu analizowanego projektu inwestycyjnego jest równa 25,49 %. Oznacza to, że dla każdej stopy dyskontowej poniżej 25,49 % analizowany projekt inwestycyjny będzie opłacalny, zaś dla każdej stopy powyżej 25,49 % projekt ten będzie nieopłacalny.

Porównywanie projektów inwestycyjnych
Wybór najlepszego projektu inwestycyjnego spośród kilku projektów charakteryzujących się różnymi nakładami i różnymi wpływami nie może być dokonany tylko w oparciu o maksymalną wartość NPV. Projekt, dający wysokie NPV, może jednocześnie wymagać poniesienia bardzo wysokich nakładów. Przy wyborze projektów inwestycyjnych dąży się zgodnie, z zasadą racjonalnego działania, do osiągnięcia maksymalnych korzyści, przy jak najmniejszych nakładach. Dlatego też przy wyborze najefektywniejszego projektu inwestycyjnego należy wziąć pod uwagę nie tylko wartość NPV, ale również poniesione nakłady. Te dwie wielkości uwzględnia wskaźnik wartości zaktualizowanej netto, który oznacza się w skrócie NPVR i wyznacza się następująco:6

fp (59)

gdzie:
PVI – to obecna wartość całkowitych nakładów inwestycyjnych

Firma powinna wybrać do realizacji taki projekt inwestycyjny, w którym wartość wskaźnika NPVR jest największa, ale tylko w sytuacji, gdy czas trwania porównywanych przedsięwzięć jest identyczna. Wskaźnik NPVR informuje przede wszystkim o rentowności inwestycji w całym okresie jej realizacji. W przypadku projektów różniących się między sobą czasem trwania konieczne jest wyznaczenie średniorocznej wartości wskaźnika NPVR za pomocą następującego wzoru:7

fp (60)

gdzie:
t – czas trwania projektu inwestycyjnego w latach

Przykład Spółka X może realizować inwestycję A, dla której wartość NPV jest równa 6795,86, a wartość nakładów inwestycyjnych w tabeli,

fp (61)

lub inwestycję B, dla której NPV jest równe 5200, a nakłady będą ponoszone w następujący sposób: 30000 zł w momencie rozpoczęcia inwestycji i 15000 zł rok później. Ponadto wiadomo, że inwestycja B będzie trwała trzy lata. Oblicz, która z tych inwestycji jest bardziej opłacalna dla spółki, jeżeli stopa dyskontowa wynosi 18%.

Rozwiązanie:

1. Obliczamy wskaźnik NPVR, dla inwestycji A

fp (62)

2. Obliczamy wskaźnika NPRV, dla inwestycji B

fp (63)

3. Ponieważ czas trwania obu inwestycji jest różny, obliczamy dla każdej z nich średnioroczny poziom wskaźnika NPVR

fp (64)

fp (65)

Odp. Bardziej opłacalna jest inwestycja B mimo niższej wartości NPV. Średnioroczna wartość wskaźnika NPVR wynosi dla niej 4,07%.


1 Dynus M., Prewysz-Kwinto P., Matematyka finansowa, TNOiK, Toruń 2005, s. 25.
2 http://isc.infor.pl/slownik-pojec/haslo,101095.html z dnia 13 lutego 2012 r.
3 Bień W., Zarządzenia finansami przedsiębiorstwa, Difin, Warszawa 2000, s. 243-244.
4 Dynus M., Kołosowska B., Prewysz-Kwinto P., Zarządzanie finansami przedsiębiorstwa, TNOiK, Toruń 2006, s. 143.
5 Czekaj J., Dresler Z., Zarządzanie finansami przedsiębiorstw, PWN, Warszawa 2002, s. 70.
6 http://mfiles.pl/pl/index.php/NPVR z dnia 13 lutego 2012 r.
7 Dynus M., Kołosowska B., Prewysz-Kwinto P., Zarządzenie, op. cit., s. 148.

Powrót